3.27 \(\int \frac{(c+d x)^3}{(a+a \coth (e+f x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=336 \[ \frac{d^2 (c+d x) e^{-6 e-6 f x}}{288 a^3 f^3}-\frac{9 d^2 (c+d x) e^{-4 e-4 f x}}{256 a^3 f^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) e^{-2 e-2 f x}}{32 a^3 f^3}+\frac{d (c+d x)^2 e^{-6 e-6 f x}}{96 a^3 f^2}-\frac{9 d (c+d x)^2 e^{-4 e-4 f x}}{128 a^3 f^2}+\frac{9 d (c+d x)^2 e^{-2 e-2 f x}}{32 a^3 f^2}+\frac{(c+d x)^3 e^{-6 e-6 f x}}{48 a^3 f}-\frac{3 (c+d x)^3 e^{-4 e-4 f x}}{32 a^3 f}+\frac{3 (c+d x)^3 e^{-2 e-2 f x}}{16 a^3 f}+\frac{(c+d x)^4}{32 a^3 d}+\frac{d^3 e^{-6 e-6 f x}}{1728 a^3 f^4}-\frac{9 d^3 e^{-4 e-4 f x}}{1024 a^3 f^4}+\frac{9 d^3 e^{-2 e-2 f x}}{64 a^3 f^4} \]

[Out]

(d^3*E^(-6*e - 6*f*x))/(1728*a^3*f^4) - (9*d^3*E^(-4*e - 4*f*x))/(1024*a^3*f^4) + (9*d^3*E^(-2*e - 2*f*x))/(64
*a^3*f^4) + (d^2*E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x))/(288*a^3*f^3) - (9*d^2*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x))/(256*a^3*f^3)
+ (9*d^2*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x))/(32*a^3*f^3) + (d*E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x)^2)/(96*a^3*f^2) - (9*d*E^(-4
*e - 4*f*x)*(c + d*x)^2)/(128*a^3*f^2) + (9*d*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^2)/(32*a^3*f^2) + (E^(-6*e - 6*f*x)*(
c + d*x)^3)/(48*a^3*f) - (3*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^3)/(32*a^3*f) + (3*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^3)/(16*a^
3*f) + (c + d*x)^4/(32*a^3*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.369896, antiderivative size = 336, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 14, number of rules used = 3, integrand size = 20, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.15, Rules used = {3729, 2176, 2194} \[ \frac{d^2 (c+d x) e^{-6 e-6 f x}}{288 a^3 f^3}-\frac{9 d^2 (c+d x) e^{-4 e-4 f x}}{256 a^3 f^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) e^{-2 e-2 f x}}{32 a^3 f^3}+\frac{d (c+d x)^2 e^{-6 e-6 f x}}{96 a^3 f^2}-\frac{9 d (c+d x)^2 e^{-4 e-4 f x}}{128 a^3 f^2}+\frac{9 d (c+d x)^2 e^{-2 e-2 f x}}{32 a^3 f^2}+\frac{(c+d x)^3 e^{-6 e-6 f x}}{48 a^3 f}-\frac{3 (c+d x)^3 e^{-4 e-4 f x}}{32 a^3 f}+\frac{3 (c+d x)^3 e^{-2 e-2 f x}}{16 a^3 f}+\frac{(c+d x)^4}{32 a^3 d}+\frac{d^3 e^{-6 e-6 f x}}{1728 a^3 f^4}-\frac{9 d^3 e^{-4 e-4 f x}}{1024 a^3 f^4}+\frac{9 d^3 e^{-2 e-2 f x}}{64 a^3 f^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3/(a + a*Coth[e + f*x])^3,x]

[Out]

(d^3*E^(-6*e - 6*f*x))/(1728*a^3*f^4) - (9*d^3*E^(-4*e - 4*f*x))/(1024*a^3*f^4) + (9*d^3*E^(-2*e - 2*f*x))/(64
*a^3*f^4) + (d^2*E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x))/(288*a^3*f^3) - (9*d^2*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x))/(256*a^3*f^3)
+ (9*d^2*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x))/(32*a^3*f^3) + (d*E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x)^2)/(96*a^3*f^2) - (9*d*E^(-4
*e - 4*f*x)*(c + d*x)^2)/(128*a^3*f^2) + (9*d*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^2)/(32*a^3*f^2) + (E^(-6*e - 6*f*x)*(
c + d*x)^3)/(48*a^3*f) - (3*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^3)/(32*a^3*f) + (3*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^3)/(16*a^
3*f) + (c + d*x)^4/(32*a^3*d)

Rule 3729

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c
+ d*x)^m, (1/(2*a) + E^((2*a*(e + f*x))/b)/(2*a))^(-n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[a^2
+ b^2, 0] && ILtQ[n, 0]

Rule 2176

Int[((b_.)*(F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m
*(b*F^(g*(e + f*x)))^n)/(f*g*n*Log[F]), x] - Dist[(d*m)/(f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*F^(g*(e + f*x
)))^n, x], x] /; FreeQ[{F, b, c, d, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0] && IntegerQ[2*m] &&  !$UseGamma === True

Rule 2194

Int[((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(F^(c*(a + b*x)))^n/(b*c*n*Log[F]), x] /; Fre
eQ[{F, a, b, c, n}, x]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(c+d x)^3}{(a+a \coth (e+f x))^3} \, dx &=\int \left (\frac{(c+d x)^3}{8 a^3}-\frac{e^{-6 e-6 f x} (c+d x)^3}{8 a^3}+\frac{3 e^{-4 e-4 f x} (c+d x)^3}{8 a^3}-\frac{3 e^{-2 e-2 f x} (c+d x)^3}{8 a^3}\right ) \, dx\\ &=\frac{(c+d x)^4}{32 a^3 d}-\frac{\int e^{-6 e-6 f x} (c+d x)^3 \, dx}{8 a^3}+\frac{3 \int e^{-4 e-4 f x} (c+d x)^3 \, dx}{8 a^3}-\frac{3 \int e^{-2 e-2 f x} (c+d x)^3 \, dx}{8 a^3}\\ &=\frac{e^{-6 e-6 f x} (c+d x)^3}{48 a^3 f}-\frac{3 e^{-4 e-4 f x} (c+d x)^3}{32 a^3 f}+\frac{3 e^{-2 e-2 f x} (c+d x)^3}{16 a^3 f}+\frac{(c+d x)^4}{32 a^3 d}-\frac{d \int e^{-6 e-6 f x} (c+d x)^2 \, dx}{16 a^3 f}+\frac{(9 d) \int e^{-4 e-4 f x} (c+d x)^2 \, dx}{32 a^3 f}-\frac{(9 d) \int e^{-2 e-2 f x} (c+d x)^2 \, dx}{16 a^3 f}\\ &=\frac{d e^{-6 e-6 f x} (c+d x)^2}{96 a^3 f^2}-\frac{9 d e^{-4 e-4 f x} (c+d x)^2}{128 a^3 f^2}+\frac{9 d e^{-2 e-2 f x} (c+d x)^2}{32 a^3 f^2}+\frac{e^{-6 e-6 f x} (c+d x)^3}{48 a^3 f}-\frac{3 e^{-4 e-4 f x} (c+d x)^3}{32 a^3 f}+\frac{3 e^{-2 e-2 f x} (c+d x)^3}{16 a^3 f}+\frac{(c+d x)^4}{32 a^3 d}-\frac{d^2 \int e^{-6 e-6 f x} (c+d x) \, dx}{48 a^3 f^2}+\frac{\left (9 d^2\right ) \int e^{-4 e-4 f x} (c+d x) \, dx}{64 a^3 f^2}-\frac{\left (9 d^2\right ) \int e^{-2 e-2 f x} (c+d x) \, dx}{16 a^3 f^2}\\ &=\frac{d^2 e^{-6 e-6 f x} (c+d x)}{288 a^3 f^3}-\frac{9 d^2 e^{-4 e-4 f x} (c+d x)}{256 a^3 f^3}+\frac{9 d^2 e^{-2 e-2 f x} (c+d x)}{32 a^3 f^3}+\frac{d e^{-6 e-6 f x} (c+d x)^2}{96 a^3 f^2}-\frac{9 d e^{-4 e-4 f x} (c+d x)^2}{128 a^3 f^2}+\frac{9 d e^{-2 e-2 f x} (c+d x)^2}{32 a^3 f^2}+\frac{e^{-6 e-6 f x} (c+d x)^3}{48 a^3 f}-\frac{3 e^{-4 e-4 f x} (c+d x)^3}{32 a^3 f}+\frac{3 e^{-2 e-2 f x} (c+d x)^3}{16 a^3 f}+\frac{(c+d x)^4}{32 a^3 d}-\frac{d^3 \int e^{-6 e-6 f x} \, dx}{288 a^3 f^3}+\frac{\left (9 d^3\right ) \int e^{-4 e-4 f x} \, dx}{256 a^3 f^3}-\frac{\left (9 d^3\right ) \int e^{-2 e-2 f x} \, dx}{32 a^3 f^3}\\ &=\frac{d^3 e^{-6 e-6 f x}}{1728 a^3 f^4}-\frac{9 d^3 e^{-4 e-4 f x}}{1024 a^3 f^4}+\frac{9 d^3 e^{-2 e-2 f x}}{64 a^3 f^4}+\frac{d^2 e^{-6 e-6 f x} (c+d x)}{288 a^3 f^3}-\frac{9 d^2 e^{-4 e-4 f x} (c+d x)}{256 a^3 f^3}+\frac{9 d^2 e^{-2 e-2 f x} (c+d x)}{32 a^3 f^3}+\frac{d e^{-6 e-6 f x} (c+d x)^2}{96 a^3 f^2}-\frac{9 d e^{-4 e-4 f x} (c+d x)^2}{128 a^3 f^2}+\frac{9 d e^{-2 e-2 f x} (c+d x)^2}{32 a^3 f^2}+\frac{e^{-6 e-6 f x} (c+d x)^3}{48 a^3 f}-\frac{3 e^{-4 e-4 f x} (c+d x)^3}{32 a^3 f}+\frac{3 e^{-2 e-2 f x} (c+d x)^3}{16 a^3 f}+\frac{(c+d x)^4}{32 a^3 d}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 2.26326, size = 615, normalized size = 1.83 \[ \frac{\text{csch}^3(e+f x) \left (81 \left (24 c^2 d f^2 (4 f x+3)+32 c^3 f^3+12 c d^2 f \left (8 f^2 x^2+12 f x+7\right )+d^3 \left (32 f^3 x^3+72 f^2 x^2+84 f x+45\right )\right ) \cosh (e+f x)+16 \left (18 c^2 d f^2 \left (18 f^2 x^2+6 f x+1\right )+36 c^3 f^3 (6 f x+1)+6 c d^2 f \left (36 f^3 x^3+18 f^2 x^2+6 f x+1\right )+d^3 \left (54 f^4 x^4+36 f^3 x^3+18 f^2 x^2+6 f x+1\right )\right ) \cosh (3 (e+f x))+5184 c^2 d f^4 x^2 \sinh (3 (e+f x))+23328 c^2 d f^3 x \sinh (e+f x)-1728 c^2 d f^3 x \sinh (3 (e+f x))+9720 c^2 d f^2 \sinh (e+f x)-288 c^2 d f^2 \sinh (3 (e+f x))+3456 c^3 f^4 x \sinh (3 (e+f x))+7776 c^3 f^3 \sinh (e+f x)-576 c^3 f^3 \sinh (3 (e+f x))+3456 c d^2 f^4 x^3 \sinh (3 (e+f x))+23328 c d^2 f^3 x^2 \sinh (e+f x)-1728 c d^2 f^3 x^2 \sinh (3 (e+f x))+19440 c d^2 f^2 x \sinh (e+f x)-576 c d^2 f^2 x \sinh (3 (e+f x))+8748 c d^2 f \sinh (e+f x)-96 c d^2 f \sinh (3 (e+f x))+864 d^3 f^4 x^4 \sinh (3 (e+f x))+7776 d^3 f^3 x^3 \sinh (e+f x)-576 d^3 f^3 x^3 \sinh (3 (e+f x))+9720 d^3 f^2 x^2 \sinh (e+f x)-288 d^3 f^2 x^2 \sinh (3 (e+f x))+8748 d^3 f x \sinh (e+f x)-96 d^3 f x \sinh (3 (e+f x))+4131 d^3 \sinh (e+f x)-16 d^3 \sinh (3 (e+f x))\right )}{27648 a^3 f^4 (\coth (e+f x)+1)^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3/(a + a*Coth[e + f*x])^3,x]

[Out]

(Csch[e + f*x]^3*(81*(32*c^3*f^3 + 24*c^2*d*f^2*(3 + 4*f*x) + 12*c*d^2*f*(7 + 12*f*x + 8*f^2*x^2) + d^3*(45 +
84*f*x + 72*f^2*x^2 + 32*f^3*x^3))*Cosh[e + f*x] + 16*(36*c^3*f^3*(1 + 6*f*x) + 18*c^2*d*f^2*(1 + 6*f*x + 18*f
^2*x^2) + 6*c*d^2*f*(1 + 6*f*x + 18*f^2*x^2 + 36*f^3*x^3) + d^3*(1 + 6*f*x + 18*f^2*x^2 + 36*f^3*x^3 + 54*f^4*
x^4))*Cosh[3*(e + f*x)] + 4131*d^3*Sinh[e + f*x] + 8748*c*d^2*f*Sinh[e + f*x] + 9720*c^2*d*f^2*Sinh[e + f*x] +
7776*c^3*f^3*Sinh[e + f*x] + 8748*d^3*f*x*Sinh[e + f*x] + 19440*c*d^2*f^2*x*Sinh[e + f*x] + 23328*c^2*d*f^3*x
*Sinh[e + f*x] + 9720*d^3*f^2*x^2*Sinh[e + f*x] + 23328*c*d^2*f^3*x^2*Sinh[e + f*x] + 7776*d^3*f^3*x^3*Sinh[e
+ f*x] - 16*d^3*Sinh[3*(e + f*x)] - 96*c*d^2*f*Sinh[3*(e + f*x)] - 288*c^2*d*f^2*Sinh[3*(e + f*x)] - 576*c^3*f
^3*Sinh[3*(e + f*x)] - 96*d^3*f*x*Sinh[3*(e + f*x)] - 576*c*d^2*f^2*x*Sinh[3*(e + f*x)] - 1728*c^2*d*f^3*x*Sin
h[3*(e + f*x)] + 3456*c^3*f^4*x*Sinh[3*(e + f*x)] - 288*d^3*f^2*x^2*Sinh[3*(e + f*x)] - 1728*c*d^2*f^3*x^2*Sin
h[3*(e + f*x)] + 5184*c^2*d*f^4*x^2*Sinh[3*(e + f*x)] - 576*d^3*f^3*x^3*Sinh[3*(e + f*x)] + 3456*c*d^2*f^4*x^3
*Sinh[3*(e + f*x)] + 864*d^3*f^4*x^4*Sinh[3*(e + f*x)]))/(27648*a^3*f^4*(1 + Coth[e + f*x])^3)

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.183, size = 368, normalized size = 1.1 \begin{align*}{\frac{{d}^{3}{x}^{4}}{32\,{a}^{3}}}+{\frac{c{d}^{2}{x}^{3}}{8\,{a}^{3}}}+{\frac{3\,{c}^{2}d{x}^{2}}{16\,{a}^{3}}}+{\frac{{c}^{3}x}{8\,{a}^{3}}}+{\frac{ \left ( 12\,{d}^{3}{x}^{3}{f}^{3}+36\,c{d}^{2}{f}^{3}{x}^{2}+36\,{c}^{2}d{f}^{3}x+18\,{d}^{3}{f}^{2}{x}^{2}+12\,{c}^{3}{f}^{3}+36\,c{d}^{2}{f}^{2}x+18\,{c}^{2}d{f}^{2}+18\,{d}^{3}fx+18\,c{d}^{2}f+9\,{d}^{3} \right ){{\rm e}^{-2\,fx-2\,e}}}{64\,{a}^{3}{f}^{4}}}-{\frac{ \left ( 96\,{d}^{3}{x}^{3}{f}^{3}+288\,c{d}^{2}{f}^{3}{x}^{2}+288\,{c}^{2}d{f}^{3}x+72\,{d}^{3}{f}^{2}{x}^{2}+96\,{c}^{3}{f}^{3}+144\,c{d}^{2}{f}^{2}x+72\,{c}^{2}d{f}^{2}+36\,{d}^{3}fx+36\,c{d}^{2}f+9\,{d}^{3} \right ){{\rm e}^{-4\,fx-4\,e}}}{1024\,{a}^{3}{f}^{4}}}+{\frac{ \left ( 36\,{d}^{3}{x}^{3}{f}^{3}+108\,c{d}^{2}{f}^{3}{x}^{2}+108\,{c}^{2}d{f}^{3}x+18\,{d}^{3}{f}^{2}{x}^{2}+36\,{c}^{3}{f}^{3}+36\,c{d}^{2}{f}^{2}x+18\,{c}^{2}d{f}^{2}+6\,{d}^{3}fx+6\,c{d}^{2}f+{d}^{3} \right ){{\rm e}^{-6\,fx-6\,e}}}{1728\,{a}^{3}{f}^{4}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3/(a+a*coth(f*x+e))^3,x)

[Out]

1/32/a^3*d^3*x^4+1/8/a^3*c*d^2*x^3+3/16/a^3*c^2*d*x^2+1/8/a^3*c^3*x+3/64*(4*d^3*f^3*x^3+12*c*d^2*f^3*x^2+12*c^
2*d*f^3*x+6*d^3*f^2*x^2+4*c^3*f^3+12*c*d^2*f^2*x+6*c^2*d*f^2+6*d^3*f*x+6*c*d^2*f+3*d^3)/a^3/f^4*exp(-2*f*x-2*e
)-3/1024*(32*d^3*f^3*x^3+96*c*d^2*f^3*x^2+96*c^2*d*f^3*x+24*d^3*f^2*x^2+32*c^3*f^3+48*c*d^2*f^2*x+24*c^2*d*f^2
+12*d^3*f*x+12*c*d^2*f+3*d^3)/a^3/f^4*exp(-4*f*x-4*e)+1/1728*(36*d^3*f^3*x^3+108*c*d^2*f^3*x^2+108*c^2*d*f^3*x
+18*d^3*f^2*x^2+36*c^3*f^3+36*c*d^2*f^2*x+18*c^2*d*f^2+6*d^3*f*x+6*c*d^2*f+d^3)/a^3/f^4*exp(-6*f*x-6*e)

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 7.63276, size = 548, normalized size = 1.63 \begin{align*} \frac{1}{96} \, c^{3}{\left (\frac{12 \,{\left (f x + e\right )}}{a^{3} f} + \frac{18 \, e^{\left (-2 \, f x - 2 \, e\right )} - 9 \, e^{\left (-4 \, f x - 4 \, e\right )} + 2 \, e^{\left (-6 \, f x - 6 \, e\right )}}{a^{3} f}\right )} + \frac{{\left (72 \, f^{2} x^{2} e^{\left (6 \, e\right )} + 108 \,{\left (2 \, f x e^{\left (4 \, e\right )} + e^{\left (4 \, e\right )}\right )} e^{\left (-2 \, f x\right )} - 27 \,{\left (4 \, f x e^{\left (2 \, e\right )} + e^{\left (2 \, e\right )}\right )} e^{\left (-4 \, f x\right )} + 4 \,{\left (6 \, f x + 1\right )} e^{\left (-6 \, f x\right )}\right )} c^{2} d e^{\left (-6 \, e\right )}}{384 \, a^{3} f^{2}} + \frac{{\left (288 \, f^{3} x^{3} e^{\left (6 \, e\right )} + 648 \,{\left (2 \, f^{2} x^{2} e^{\left (4 \, e\right )} + 2 \, f x e^{\left (4 \, e\right )} + e^{\left (4 \, e\right )}\right )} e^{\left (-2 \, f x\right )} - 81 \,{\left (8 \, f^{2} x^{2} e^{\left (2 \, e\right )} + 4 \, f x e^{\left (2 \, e\right )} + e^{\left (2 \, e\right )}\right )} e^{\left (-4 \, f x\right )} + 8 \,{\left (18 \, f^{2} x^{2} + 6 \, f x + 1\right )} e^{\left (-6 \, f x\right )}\right )} c d^{2} e^{\left (-6 \, e\right )}}{2304 \, a^{3} f^{3}} + \frac{{\left (864 \, f^{4} x^{4} e^{\left (6 \, e\right )} + 1296 \,{\left (4 \, f^{3} x^{3} e^{\left (4 \, e\right )} + 6 \, f^{2} x^{2} e^{\left (4 \, e\right )} + 6 \, f x e^{\left (4 \, e\right )} + 3 \, e^{\left (4 \, e\right )}\right )} e^{\left (-2 \, f x\right )} - 81 \,{\left (32 \, f^{3} x^{3} e^{\left (2 \, e\right )} + 24 \, f^{2} x^{2} e^{\left (2 \, e\right )} + 12 \, f x e^{\left (2 \, e\right )} + 3 \, e^{\left (2 \, e\right )}\right )} e^{\left (-4 \, f x\right )} + 16 \,{\left (36 \, f^{3} x^{3} + 18 \, f^{2} x^{2} + 6 \, f x + 1\right )} e^{\left (-6 \, f x\right )}\right )} d^{3} e^{\left (-6 \, e\right )}}{27648 \, a^{3} f^{4}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3/(a+a*coth(f*x+e))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/96*c^3*(12*(f*x + e)/(a^3*f) + (18*e^(-2*f*x - 2*e) - 9*e^(-4*f*x - 4*e) + 2*e^(-6*f*x - 6*e))/(a^3*f)) + 1/
384*(72*f^2*x^2*e^(6*e) + 108*(2*f*x*e^(4*e) + e^(4*e))*e^(-2*f*x) - 27*(4*f*x*e^(2*e) + e^(2*e))*e^(-4*f*x) +
4*(6*f*x + 1)*e^(-6*f*x))*c^2*d*e^(-6*e)/(a^3*f^2) + 1/2304*(288*f^3*x^3*e^(6*e) + 648*(2*f^2*x^2*e^(4*e) + 2
*f*x*e^(4*e) + e^(4*e))*e^(-2*f*x) - 81*(8*f^2*x^2*e^(2*e) + 4*f*x*e^(2*e) + e^(2*e))*e^(-4*f*x) + 8*(18*f^2*x
^2 + 6*f*x + 1)*e^(-6*f*x))*c*d^2*e^(-6*e)/(a^3*f^3) + 1/27648*(864*f^4*x^4*e^(6*e) + 1296*(4*f^3*x^3*e^(4*e)
+ 6*f^2*x^2*e^(4*e) + 6*f*x*e^(4*e) + 3*e^(4*e))*e^(-2*f*x) - 81*(32*f^3*x^3*e^(2*e) + 24*f^2*x^2*e^(2*e) + 12
*f*x*e^(2*e) + 3*e^(2*e))*e^(-4*f*x) + 16*(36*f^3*x^3 + 18*f^2*x^2 + 6*f*x + 1)*e^(-6*f*x))*d^3*e^(-6*e)/(a^3*
f^4)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.22475, size = 1877, normalized size = 5.59 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3/(a+a*coth(f*x+e))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/27648*(16*(54*d^3*f^4*x^4 + 36*c^3*f^3 + 18*c^2*d*f^2 + 6*c*d^2*f + 36*(6*c*d^2*f^4 + d^3*f^3)*x^3 + d^3 + 1
8*(18*c^2*d*f^4 + 6*c*d^2*f^3 + d^3*f^2)*x^2 + 6*(36*c^3*f^4 + 18*c^2*d*f^3 + 6*c*d^2*f^2 + d^3*f)*x)*cosh(f*x
+ e)^3 + 48*(54*d^3*f^4*x^4 + 36*c^3*f^3 + 18*c^2*d*f^2 + 6*c*d^2*f + 36*(6*c*d^2*f^4 + d^3*f^3)*x^3 + d^3 +
18*(18*c^2*d*f^4 + 6*c*d^2*f^3 + d^3*f^2)*x^2 + 6*(36*c^3*f^4 + 18*c^2*d*f^3 + 6*c*d^2*f^2 + d^3*f)*x)*cosh(f*
x + e)*sinh(f*x + e)^2 + 16*(54*d^3*f^4*x^4 - 36*c^3*f^3 - 18*c^2*d*f^2 - 6*c*d^2*f + 36*(6*c*d^2*f^4 - d^3*f^
3)*x^3 - d^3 + 18*(18*c^2*d*f^4 - 6*c*d^2*f^3 - d^3*f^2)*x^2 + 6*(36*c^3*f^4 - 18*c^2*d*f^3 - 6*c*d^2*f^2 - d^
3*f)*x)*sinh(f*x + e)^3 + 81*(32*d^3*f^3*x^3 + 32*c^3*f^3 + 72*c^2*d*f^2 + 84*c*d^2*f + 45*d^3 + 24*(4*c*d^2*f
^3 + 3*d^3*f^2)*x^2 + 12*(8*c^2*d*f^3 + 12*c*d^2*f^2 + 7*d^3*f)*x)*cosh(f*x + e) + 3*(2592*d^3*f^3*x^3 + 2592*
c^3*f^3 + 3240*c^2*d*f^2 + 2916*c*d^2*f + 1377*d^3 + 648*(12*c*d^2*f^3 + 5*d^3*f^2)*x^2 + 16*(54*d^3*f^4*x^4 -
36*c^3*f^3 - 18*c^2*d*f^2 - 6*c*d^2*f + 36*(6*c*d^2*f^4 - d^3*f^3)*x^3 - d^3 + 18*(18*c^2*d*f^4 - 6*c*d^2*f^3
- d^3*f^2)*x^2 + 6*(36*c^3*f^4 - 18*c^2*d*f^3 - 6*c*d^2*f^2 - d^3*f)*x)*cosh(f*x + e)^2 + 324*(24*c^2*d*f^3 +
20*c*d^2*f^2 + 9*d^3*f)*x)*sinh(f*x + e))/(a^3*f^4*cosh(f*x + e)^3 + 3*a^3*f^4*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)
+ 3*a^3*f^4*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^2 + a^3*f^4*sinh(f*x + e)^3)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 13.2819, size = 3925, normalized size = 11.68 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3/(a+a*coth(f*x+e))**3,x)

[Out]

Piecewise((864*c**3*f**4*x*tanh(e + f*x)**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**
2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 2592*c**3*f**4*x*tanh(e + f*x)**2/(6912*a**3*f**4*tanh(e
+ f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 2592*c**3*f*
*4*x*tanh(e + f*x)/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(
e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 864*c**3*f**4*x/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)*
*2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) - 2592*c**3*f**3*tanh(e + f*x)**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e
+ f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) - 1728*c**3*f**
3*tanh(e + f*x)**2/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(
e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 288*c**3*f**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2
+ 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 1296*c**2*d*f**4*x**2*tanh(e + f*x)**3/(6912*a**3*f**4*ta
nh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 3888*c**
2*d*f**4*x**2*tanh(e + f*x)**2/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**
3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 3888*c**2*d*f**4*x**2*tanh(e + f*x)/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3
+ 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 1296*c**2*d*f**4*x**2/(
6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3
*f**4) - 6264*c**2*d*f**3*x*tanh(e + f*x)**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)*
*2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) - 648*c**2*d*f**3*x*tanh(e + f*x)**2/(6912*a**3*f**4*tanh
(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 4536*c**2*
d*f**3*x*tanh(e + f*x)/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*t
anh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 2376*c**2*d*f**3*x/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e
+ f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) - 3240*c**2*d*f**2*tanh(e + f*x)**3/(6912*a**3*f**
4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) - 3456
*c**2*d*f**2*tanh(e + f*x)**2/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3
*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 792*c**2*d*f**2/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tan
h(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 864*c*d**2*f**4*x**3*tanh(e + f*x)**3/(6912*
a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4
) + 2592*c*d**2*f**4*x**3*tanh(e + f*x)**2/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2
+ 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 2592*c*d**2*f**4*x**3*tanh(e + f*x)/(6912*a**3*f**4*tanh(
e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 864*c*d**2*
f**4*x**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)
+ 6912*a**3*f**4) - 6264*c*d**2*f**3*x**2*tanh(e + f*x)**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*
tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) - 648*c*d**2*f**3*x**2*tanh(e + f*x)**2/(69
12*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f
**4) + 4536*c*d**2*f**3*x**2*tanh(e + f*x)/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2
+ 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 2376*c*d**2*f**3*x**2/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 +
20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) - 5004*c*d**2*f**2*x*tanh(e
+ f*x)**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)
+ 6912*a**3*f**4) - 2484*c*d**2*f**2*x*tanh(e + f*x)**2/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*ta
nh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 4428*c*d**2*f**2*x*tanh(e + f*x)/(6912*a**3
*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) +
3060*c*d**2*f**2*x/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(
e + f*x) + 6912*a**3*f**4) - 2916*c*d**2*f*tanh(e + f*x)**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4
*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) - 3744*c*d**2*f*tanh(e + f*x)**2/(6912*a**
3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) +
1020*c*d**2*f/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e +
f*x) + 6912*a**3*f**4) + 216*d**3*f**4*x**4*tanh(e + f*x)**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**
4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 648*d**3*f**4*x**4*tanh(e + f*x)**2/(69
12*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f
**4) + 648*d**3*f**4*x**4*tanh(e + f*x)/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 +
20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 216*d**3*f**4*x**4/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*
a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) - 2088*d**3*f**3*x**3*tanh(e + f*
x)**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 69
12*a**3*f**4) - 216*d**3*f**3*x**3*tanh(e + f*x)**2/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e
+ f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 1512*d**3*f**3*x**3*tanh(e + f*x)/(6912*a**3*f**
4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 792*
d**3*f**3*x**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e +
f*x) + 6912*a**3*f**4) - 2502*d**3*f**2*x**2*tanh(e + f*x)**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f*
*4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) - 1242*d**3*f**2*x**2*tanh(e + f*x)**2/(
6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3
*f**4) + 2214*d**3*f**2*x**2*tanh(e + f*x)/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2
+ 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 1530*d**3*f**2*x**2/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20
736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) - 2211*d**3*f*x*tanh(e + f*x)
**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912
*a**3*f**4) - 1629*d**3*f*x*tanh(e + f*x)**2/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)*
*2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 2115*d**3*f*x*tanh(e + f*x)/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*
x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 1725*d**3*f*x/(69
12*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f
**4) - 1377*d**3*tanh(e + f*x)**3/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*
a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) - 1920*d**3*tanh(e + f*x)**2/(6912*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**3 + 2073
6*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4) + 575*d**3/(6912*a**3*f**4*tanh
(e + f*x)**3 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x)**2 + 20736*a**3*f**4*tanh(e + f*x) + 6912*a**3*f**4), Ne(f, 0)),
((c**3*x + 3*c**2*d*x**2/2 + c*d**2*x**3 + d**3*x**4/4)/(a*coth(e) + a)**3, True))

________________________________________________________________________________________

Giac [A]  time = 1.24129, size = 774, normalized size = 2.3 \begin{align*} \frac{{\left (864 \, d^{3} f^{4} x^{4} e^{\left (6 \, f x + 6 \, e\right )} + 3456 \, c d^{2} f^{4} x^{3} e^{\left (6 \, f x + 6 \, e\right )} + 5184 \, c^{2} d f^{4} x^{2} e^{\left (6 \, f x + 6 \, e\right )} + 5184 \, d^{3} f^{3} x^{3} e^{\left (4 \, f x + 4 \, e\right )} - 2592 \, d^{3} f^{3} x^{3} e^{\left (2 \, f x + 2 \, e\right )} + 576 \, d^{3} f^{3} x^{3} + 3456 \, c^{3} f^{4} x e^{\left (6 \, f x + 6 \, e\right )} + 15552 \, c d^{2} f^{3} x^{2} e^{\left (4 \, f x + 4 \, e\right )} - 7776 \, c d^{2} f^{3} x^{2} e^{\left (2 \, f x + 2 \, e\right )} + 1728 \, c d^{2} f^{3} x^{2} + 15552 \, c^{2} d f^{3} x e^{\left (4 \, f x + 4 \, e\right )} + 7776 \, d^{3} f^{2} x^{2} e^{\left (4 \, f x + 4 \, e\right )} - 7776 \, c^{2} d f^{3} x e^{\left (2 \, f x + 2 \, e\right )} - 1944 \, d^{3} f^{2} x^{2} e^{\left (2 \, f x + 2 \, e\right )} + 1728 \, c^{2} d f^{3} x + 288 \, d^{3} f^{2} x^{2} + 5184 \, c^{3} f^{3} e^{\left (4 \, f x + 4 \, e\right )} + 15552 \, c d^{2} f^{2} x e^{\left (4 \, f x + 4 \, e\right )} - 2592 \, c^{3} f^{3} e^{\left (2 \, f x + 2 \, e\right )} - 3888 \, c d^{2} f^{2} x e^{\left (2 \, f x + 2 \, e\right )} + 576 \, c^{3} f^{3} + 576 \, c d^{2} f^{2} x + 7776 \, c^{2} d f^{2} e^{\left (4 \, f x + 4 \, e\right )} + 7776 \, d^{3} f x e^{\left (4 \, f x + 4 \, e\right )} - 1944 \, c^{2} d f^{2} e^{\left (2 \, f x + 2 \, e\right )} - 972 \, d^{3} f x e^{\left (2 \, f x + 2 \, e\right )} + 288 \, c^{2} d f^{2} + 96 \, d^{3} f x + 7776 \, c d^{2} f e^{\left (4 \, f x + 4 \, e\right )} - 972 \, c d^{2} f e^{\left (2 \, f x + 2 \, e\right )} + 96 \, c d^{2} f + 3888 \, d^{3} e^{\left (4 \, f x + 4 \, e\right )} - 243 \, d^{3} e^{\left (2 \, f x + 2 \, e\right )} + 16 \, d^{3}\right )} e^{\left (-6 \, f x - 6 \, e\right )}}{27648 \, a^{3} f^{4}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3/(a+a*coth(f*x+e))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/27648*(864*d^3*f^4*x^4*e^(6*f*x + 6*e) + 3456*c*d^2*f^4*x^3*e^(6*f*x + 6*e) + 5184*c^2*d*f^4*x^2*e^(6*f*x +
6*e) + 5184*d^3*f^3*x^3*e^(4*f*x + 4*e) - 2592*d^3*f^3*x^3*e^(2*f*x + 2*e) + 576*d^3*f^3*x^3 + 3456*c^3*f^4*x*
e^(6*f*x + 6*e) + 15552*c*d^2*f^3*x^2*e^(4*f*x + 4*e) - 7776*c*d^2*f^3*x^2*e^(2*f*x + 2*e) + 1728*c*d^2*f^3*x^
2 + 15552*c^2*d*f^3*x*e^(4*f*x + 4*e) + 7776*d^3*f^2*x^2*e^(4*f*x + 4*e) - 7776*c^2*d*f^3*x*e^(2*f*x + 2*e) -
1944*d^3*f^2*x^2*e^(2*f*x + 2*e) + 1728*c^2*d*f^3*x + 288*d^3*f^2*x^2 + 5184*c^3*f^3*e^(4*f*x + 4*e) + 15552*c
*d^2*f^2*x*e^(4*f*x + 4*e) - 2592*c^3*f^3*e^(2*f*x + 2*e) - 3888*c*d^2*f^2*x*e^(2*f*x + 2*e) + 576*c^3*f^3 + 5
76*c*d^2*f^2*x + 7776*c^2*d*f^2*e^(4*f*x + 4*e) + 7776*d^3*f*x*e^(4*f*x + 4*e) - 1944*c^2*d*f^2*e^(2*f*x + 2*e
) - 972*d^3*f*x*e^(2*f*x + 2*e) + 288*c^2*d*f^2 + 96*d^3*f*x + 7776*c*d^2*f*e^(4*f*x + 4*e) - 972*c*d^2*f*e^(2
*f*x + 2*e) + 96*c*d^2*f + 3888*d^3*e^(4*f*x + 4*e) - 243*d^3*e^(2*f*x + 2*e) + 16*d^3)*e^(-6*f*x - 6*e)/(a^3*
f^4)